A másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése

Célunk levezetni az

\dpi{150} (1)\qquad\qquad ax^2+bx+c=0

egyenlet valós megoldásait, ahol tudjuk, hogy a nem nulla, hiszen ezért másodfokú az egyenlet. Osszunk tehát a nem nulla a-val:

\dpi{150} (2)\qquad\qquad x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

Tudjuk, hogy

\dpi{150} (p+q)^2=p^2+2pq+q^2

eszerint

\dpi{150} (*)\qquad\qquad \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=x^2 + 2 x \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{b^2}{4a^2}

Ezt felhasználva alakítsuk át a (2) egyenletet az alábbi lépésekkel:

\dpi{150} (2)\qquad\qquad x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

\dpi{150} (3)\qquad\qquad x^2+\frac{b}{a}x+ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} +\frac{c}{a}=0

Itt felhasználva a (*) azonosságot az alábbi eredményre jutunk:

\dpi{150} (4)\qquad\qquad \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} +\frac{c}{a}=0

A hátsó két tagból emeljünk ki egy - jelet, majd hozzuk közös nevezőre:

\dpi{150} (5)\qquad\qquad \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}=0

Vizsgáljuk a hátsó törtet. A nevező biztosan pozitív, hiszen a nem nulla, vagyis a tört előjele csakis a számlálótól függ. Az egyenlet megoldása az lenne, ha a

\dpi{150} (**) \qquad\qquad p^2-q^2=(p+q)(p-q)

azonossággal szorzattá tudnánk alakítani. Ehhez az kell, hogy (5)-ben a hátsó tört egy szám négyzete legyen. Márpedig egy szám négyzete csakis akkor tud lenni, ha nemnegatív. Fel kell tehát tételeznünk, hogy a tört számlálója nemnegatív, azaz

\dpi{150} b^2-4ac\ge 0

Ennek a feltételnek teljesülne kell ahhoz, hogy az egyenlet megoldható legyen. Ezzel a feltevéssel tehát az (5)-ben a hátsó tört nemnegatív szám, így gyök alá téve és négyzetre emelve semmi nem változik:

\dpi{150} (6)\qquad\qquad \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)^2=0

Most már szorzattá alakíthatunk (**) szerint:

\dpi{150} (7)\qquad\qquad \left(x+\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)=0

Ezzel eljutottunk a megoldásokhoz, hiszen egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:

\dpi{150} x+\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} =0 \qquad\textit{vagy}\qquad x+\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=0

Ezeket átrendezve

\dpi{150} x=-\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \qquad\textit{vagy}\qquad x= -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

Egy tört esetében gyököt úgy vonunk, hogy külön a számlálóból és külön a nevezőből gyököt vonunk. Továbbá tudjuk, hogy \sqrt{4a^2}=2|a|, vagyis

\dpi{150} x=-\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} \qquad\textit{vagy}\qquad x= -\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}

Most már csak azt gondoljuk meg, hogy az abszolútérték-jel elhagyása nem okoz problémát, hiszen ha a>0, akkor nem változik semmi, ha pedig a<0, akkor a bal és jobb oldali megoldás felcserélődik. Összevonva tehát a két megoldást kapjuk, hogy

\dpi{150} x_{12}=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}